众所周知，两点之间直线最短，但这并非公理，本文将证明这个问题。首先从欧式几何说起。
欧式几何
欧氏几何源于公元前3世纪。古希腊数学家欧几里德把人们公认的一些几何知识作为定义和公理(公设)，在此基础上研究图形的性质，推导出一系列定理，组成演绎体系，写出《几何原本》，形成了欧氏几何。按所讨论的图形在平面上或空间中，又分别称为“平面几何”与“立体几何”。
欧式几何的五条公理是：
任意两个点可以通过一条直线连接。任意线段能无限延长成一条直线。给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。所有直角都相等。若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角和，则这两条直线在这一边必定相交。
很遗憾，两点间直线最短并不包含在公理当中。
曲线长度
Δ
\Delta
Δs =
Δ
x
2
+
Δ
y
2
\sqrt{\Delta x^2 +\Delta y^2 }
Δx2+Δy2
，
设y=f(x)，根据前面微积分-圆的面积和周长(1)中以直代曲的思想，可得
Δ
\Delta
Δs=
Δ
x
2
+
(
Δ
(
x
)
∗
f
′
(
x
)
)
2
\sqrt{\Delta x^2 +(\Delta(x)*f'(x))^2 }
Δx2+(Δ(x)∗f′(x))2
=
Δ
x
1
+
f
’
(
x
)
2
\Delta x\sqrt{1 +f’(x) ^2 }
Δx1+f’(x)2
通过积分可以得到弧长公式：
l
=
∫
x
1
x
2
1
+
f
’
(
x
)
2
d
x
l = \int_{x_1} ^{x_2}\sqrt{1+f’(x) ^2}\,dx
l=∫x1x21+f’(x)2
dx
欧拉-拉格朗日方程
欧拉-拉格朗日方程推导过程比较复杂，涉及到泛函和变分的内容，后续文章会给出详细的推导过程。在这里，只需要知道要想让上面的弧长取得极值，需要满足欧拉-拉格朗日方程。
α
L
α
f
−
d
d
x
(
α
L
α
f
′
)
=
0
\frac{\alpha L}{\alpha f}-\frac{d}{dx}(\frac{\alpha L}{\alpha f'})=0
αfαL−dxd(αf′αL)=0
将其带入到弧长公式得到，由于公式中不含有y，因此：
α
L
α
f
=
d
d
x
(
α
L
α
f
′
)
=
0
\frac{\alpha L}{\alpha f}=\frac{d}{dx}(\frac{\alpha L}{\alpha f'})=0
αfαL=dxd(αf′αL)=0
α
L
α
f
′
=
f
‘
1
+
f
′
2
\frac{\alpha L}{\alpha f'}=\frac{f‘}{\sqrt{1+f'^2}}
αf′αL=1+f′2
f‘ =C，C是常数 两边同时平方得到：
f
′
2
1
+
f
′
2
\frac{f'^2}{1+f'^2}
1+f′2f′2 =C ---->
f
′
2
+
1
−
1
1
+
f
′
2
\frac{f'^2+1-1}{1+f'^2}
1+f′2f′2+1−1 =C ---->
1
1
+
f
′
2
\frac{1}{1+f'^2}
1+f′21 =C ----> f’=C 两边积分得到f(x) = kx+b而这正是一条直线。
写在最后
根据弧长公式，很容易证明圆的周长是2πR，这个后续会进行证明。欧拉-拉格朗日方程的证明是非常复杂的，后续会出专门的文章来详细说明整个过程。
现在我们已经证明了两点之间直线最短，那么两点之间是走直线最快吗？这就是著名的最速降线问题。
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